ประพจน์ที่สมมูลกัน ( Logic Equivalence)
ประพจน์ 2 ประพจน์จะสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกัน ทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย
ตารางที่แสดงค่าที่เป็นไปได้ครบทุกแบบดังนี้ เรียกว่า ตารางค่าความจริง (Truth Table)
จำนวนแบบที่เกิดขึ้นเท่ากับ 2n เมื่อ n คือจำนวนประพจน์ ... เช่น ถ้ามี 1 ประพจน์จะเป็นไปได้ 2
แบบ, ถ้ามี 2 ประพจน์ เป็นไปได้ 4 แบบ (ดังตารางนี้), ถ้ามี 3 ประพจน์จะเป็นไปได้ 8 แบบ
รูปแบบประพจน์ 2 รูปแบบใดๆ ที่ให้ค่าความจริงตรงกันทุกๆ กรณี จะกล่าวว่ารูปแบบทั้ง
สอง สมมูลกัน (Equivalent) (แปลว่า สามารถใช้แทนกันได้) สัญลักษณ์ที่ใช้แสดงการสมมูลกัน คือ
≡ (ขีดสามขีด)
พิจารณาประพจน์
“สุนัขเห่าฮ่งๆและแมวร้องเหมียวๆ” และ
“แมวร้องเหมียวๆและสุนัขเห่าฮ่งๆ”
การพิจารณาประโยคทั้งสองดังกล่าว ไม่เพียงแต่ดูคำในประโยค แต่จะพิจารณาจากรูปของประพจน์และตัวเชื่อมประพจน์ย่อยเป็น “จริง” หรือ “เท็จ” โดยพิจารณาสร้างตารางค่าความจริง ดังนี้
ให้ p : สุนัขเห่าฮ่งๆ
q : แมวร้องเหมียวๆ
p ^ q : สุนัขเห่าฮ่งๆ และแมวร้องเหมียวๆ
q v p : แมวร้องเหมียวๆ และสุนัขเห่าฮ่งๆ
|
P |
q |
( p ^ q ) |
(q ^ p) |
|
T |
T |
T |
T |
|
T |
F |
F |
F |
|
F |
T |
F |
F |
|
F |
F |
F |
F |
|
มีค่าความจริงเหมือนกัน |
จะเห็นได้ว่าประพจน์ทั้งสองจะเป็น “จริง” เมื่อประพจน์ p และ q มีค่าความจริงเป็น “จริง” จาดตารางค่าความจริงข้างต้นค่าความจริงของ ( p ^ q ) และ ( q ^ p ) มีค่าความจริงเหมือนกัน รูปแบบประพจน์เช่นนี้เรียนว่า ประพจน์ ตรรกสมมูล
ตรรกสมมูล (Logic Equivalence)
ให้ p และ q เป็นประพจน์และตัวเชื่อม ประพจน์สองรูปแบบเป็นตรรกสมมูล ก็ต่อเมื่อ ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่มต่างกัน ให้ค่าความจริงเหมือนกันทุก กรณี แทนด้วย p ≡ q
กฎของเดอร์มอแกน (DaMorgan’s Laws) : นิเสธของ “ ^ ” และ “ v ” (Negation of And and or)
ตรรกสมมูลนี้ตั้งชื่อให้เป็นเกียรติแก่ ออกุสตุสเดอร์มอแกน (Augustus DeMorgan) ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ในช่วงศตวรรษที่19 (ค.ศ. 1806 – 1871) (Epp, Susanna S, 1990, p.14) ซึ่งเป็นคนแรกที่กล่าวไว้ในรูปแบบคณิตศาสตร์
~ ( p ^ q ) ≡ ~p v ~q
~ ( p v q ) ≡ ~p ^ ~q
นิเสธของประพจน์ที่เชื่อมต่อด้วยตัวเชื่อม และ (And) จะมีความหมายเหมือนกันทุกประการกับ นิเสธของประพจน์ย่อยที่เชื่อมด้วยตัวเชื่อมหรือ (Or)
นิเสธของประพจน์ที่เชื่อมด้วยตัวเชื่อม หรือ (Or) จะมีความหมายเหมือนกันทุกประการกับนิเสธของประพจน์ย่อยที่เชื่อมด้วยตัวเชื่อม และ (And)
ตัวอย่าง ~(p ^q) ≡ ~p v ~q
วิธีทำ สามารถแสดงได้ด้วยตารางค่าความจริงต่อไปนี้
|
p |
q |
~p |
~q |
P ^ q |
~( p ^ q ) |
~p v ~q |
|
T |
T |
F |
F |
T |
F |
F |
|
T |
F |
F |
T |
F |
T |
T |
|
F |
T |
T |
F |
F |
T |
T |
|
F |
F |
T |
T |
F |
T |
T |
|
มีค่าความจริงเหมือนกัน |
ตัวอย่างค่าความจริง ~ ( p v q ) ≡ ~p ^ ~q
|
p |
q |
~p |
~q |
p v q |
~( p v q ) |
~p ^ ~q |
|
T |
T |
F |
F |
T |
F |
F |
|
T |
F |
F |
T |
T |
F |
F |
|
F |
T |
T |
F |
T |
F |
F |
|
F |
F |
T |
T |
F |
T |
T |
|
มีค่าความจริงเหมือนกัน |
Home กลับก่อนหน้านี้ หน้าถัดไป
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
